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Comprendre > Concepts fondamentaux > Mécanique céleste III

RELATIVITE GENERALE

et mécanique céleste

 En 1905, A. Einstein (1879-1955) publie sa théorie de la relativité restreinte et, en 1916, celle de la relativité générale. La théorie de la gravitation de Newton a atteint ses limites. Des phénomènes ne sont pas expliqués et il y a nécessité de trouver mieux. Mais quelles implications vont avoir ces nouvelles théories dans la modélisation dynamique du système solaire ? Allons-nous mieux comprendre ce qu'est la gravitation ?  Avant d'aborder les nouveautés introduites par ces nouvelles théories, revenons un peu sur la théorie de la gravitation de Newton et la Mécanique céleste qui a été construite sur ses bases.

 

La gravitation de Newton

La gravitation universelle est une découverte fondamentale du XVIIIème siècle. Tous les mouvements du système solaire semblent expliqués et la découverte de Neptune par Le Verrier va consacrer la Mécanique céleste construite sur ces bases.

Rappelons la loi de Newton :

F = -Gmm'/r²
où F est la force exercée l'un sur l'autre par deux corps de masses respectives m et m' séparés d'une distance r. G est appelée constante de la gravitation.

D'autre part, le principe d'inertie découvert par Galilée stipule qu'un corps qui se déplace sans interaction avec l'extérieur, continuera sur une trajectoire rectiligne indéfiniment. Newton ajoutera que le seul moyen de modifier cette trajectoire est d'utiliser une force : un objet subissant une force accélère d'une quantité inversement proportionnelle à la masse de l'objet dans la direction de la force.

La théorie de Newton explique aussi l'aplatissement du globe terrestre et permet de décrire correctement les marées. On avait bien pensé auparavant que la Lune pouvait attirer l'eau des mers mais alors la marée aurait dû n'être haute que du côté de la Lune. Newton l'explique : la Terre tourne autour du Soleil, elle n'est pas dans un repère galiléen et subit l'attraction de la Lune. Rien ne maintient la Terre pendant que l'eau monte vers la Lune. Le différentiel des forces explique bien les marées hautes de part et d'autre de la Terre. Enfin la gravitation universelle ne s'applique pas qu'au système solaire mais à l'univers tout entier.
 
Dynamique, gravitation et mécanique céleste nous permettent de décrire les mouvements dans le système solaire mais, avouons-le, ils n'expliquent pas grand-chose. On est en présence d'une action à distance. Pourquoi les corps s'attirent-ils ? Nul ne le sait. Avant Newton, on pensait que des anges poussaient les planètes sur leurs orbites; après Newton, on sait que les anges ne poussent pas les planètes mais les tirent vers le corps central pour contrecarrer le principe d'inertie! Aucun mécanisme n'a été mis en évidence pour expliquer l'action de cette force.

 

La constante de la gravitation

Dans la formule de Newton ci-dessus, on remarque l'existence d'une constante G. A quoi correspond-elle ? Quelle est sa valeur ? En fait, la mesure des distances et des périodes dans le système solaire ne nous fournit que le produit Gm de la constante G avec la masse du corps central. On connaît donc G x (masse solaire) en mesurant les positions des planètes, G x (masse terrestre) en mesurant le mouvement de la Lune, G x (masse de Jupiter) en mesurant les positions des satellites de Jupiter, etc. La première mesure de G a été faite par Cavendish (1731-1810) en 1798. Pour cela il réalise une expérience désormais célèbre : il mesure l'attraction de deux boules de plomb de 150 kg chacune sur de petites billes par l'intermédiaire d'un pendule de torsion. Il pourra dire : j'ai pesé la Terre! La valeur conventionnelle de cette constante est 6,672 59 x 10^-11 m³ kg^-1 s^-2 (précision surabondante car au delà de 6,672 les décimales ne sont pas très significatives...). Cette détermination nous permet de connaître la masse des corps du système solaire et de résoudre des problèmes tels que :
-quelle serait la durée de révolution d'une bille de masse négligeable autour d'une masse d'un kilogramme situé à un mètre dans l'espace ? Appliquant la 3^ème loi de Képler n² a³ = GM soit a³/T²=GM/4π² où a =1 m, M =1 kg, on a : T² = 4π²/G = 4π²/6,672 59 x 10^-11 = 5,91663 x 10¹¹ secondes² d'où T = 7,692 x 10⁵ secondes = 8 jours 21 heures et 40 minutes.
Une question se pose aussi : la constante de la gravitation est-elle vraiment constante ou se modifie-t-elle au cours du temps ? Il a été impossible de mesurer une variation de cette constante mais cette variation, si elle existe, ne peut être que faible. En effet, en supposant que cette constante ait varié de 10% au cours du dernier milliard d'années, les conditions de rayonnement du Soleil auraient été telles que la vie aurait été impossible sur Terre à cette époque. La variation de cette constante ne peut donc être que beaucoup plus faible que cela. Les mesures de position de la Lune par tirs lasers nous donnent une variation de G telle que G'/G<10^-12/an

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Les principes de relativité

Après avoir examiné la nature de la gravitation, venons-en au principe de relativité. Ce principe n'est pas récent. Dès les prémices de la mécanique, la question qui s'est posée est : les lois de la physique que l'on met à jour restent-elles invariantes dans n'importe quel référentiel ? Y-a-t-il un référentiel absolu ? C'est à cette question fondamentale que les théories de la relativité vont tenter de répondre.

 

La relativité galiléenne

Avant même la découverte de la gravitation universelle par Newton, Galilée énonce le principe de l'inertie : tout corps abandonné à lui-même et ne subissant aucune force extérieure, est animé d'un mouvement rectiligne uniforme. On appellera "référentiels galiléens" les systèmes de référence dans lesquels ce principe est vérifié. ces systèmes sont en mouvement de translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres. Pour passer d'un référentiel galiléen R à un référentiel galiléen R' animé d'une vitesse v parallèle à l'axe des abscisses, le changement de variable est de la forme :

Dans cette transformation dite "galiléenne", les lois de la mécanique et de la physique sont supposées être invariantes. Les vitesses s'additionnent. Afin de respecter le principe d'inertie, Newton sera amené à introduire un temps absolu et un espace absolu universel.

Ce système simple va vivre pendant plus d'un siècle et la mécanique céleste va décrire merveilleusement la dynamique du système solaire jusqu'à ce que deux grains de sable se glissent dans la machine. L'un sera l'excès de l'avance du périhélie de Mercure. Le résidu inexpliqué découvert par Le Verrier en 1859 et confirmé par Newcomb en 1895 est le premier défi sérieux à la théorie de newton. La mécanique classique sera impuissante devant ce problème. L'autre est d'un tout autre genre: il viendra de la découverte de l'électromagnétisme où l'action à distance fait place à une physique de champ, une action de contact. En 1873, J. Maxwell (1831-1879), physicien écossais, publie les équations générales des champs électromagnétiques, dites "équations de Maxwell". On constate alors que ces équations ne sont pas invariantes. Effectivement, la composition des vitesses ne fonctionnent pas avec la vitesse de la lumière qui ne dépend pas de la vitesse de la source (cela se remarquerait lors de l'observation des étoiles doubles) et ne peut être composée avec une autre vitesse. Serait-ce dû à l'existence d'un "éther" dans lequel la lumière se déplace par vibration ? On chercha alors à déceler un mouvement par rapport à l'éther. En particulier, on devait pouvoir mesurer la vitesse d'un mobile en mesurant les variations de la vitesse de la lumière dûes au vent d'éther. Ce fut alors la célèbre expérience effectuée par Michelson en 1881 consistant à mesurer la différence de vitesse de la lumière dans deux directions perpendiculaires. Cette expérience fut faite en divers lieux, à 6 mois d'intervalle (la vitesse de la Terre change de sens) pendant des dizaines d'années et on ne trouva pas de changement significatif dans la vitesse de la lumière (les expériences récentes faites avec des moyens modernes ont vérifié l'isotropie de la propagation de la lumière à 10^-13 près. Le mouvement de la Terre était indétectable avec cette méthode. Les équations de Maxwell étaient-elles fausses ? En fait non, c'était la transformation galiléenne qui n'était pas correcte. H. Poincaré montra que les équations de Maxwell étaient invariantes si on leur appliquait une transformation particulière, dite "transformation de Lorentz".

 

La relativité restreinte d'Einstein

Einstein va réussir à étendre le principe de relativité de la mécanique à la physique à partir de deux postulats, le premier étant dû à Poincaré et Lorentz :

• tous les référentiels galiléens sont équivalents pour la formulation des lois physiques ;
• la vitesse de la lumière dans le vide est constante par rapport à n'importe quel système galiléen et est indépendante du mouvement de la source et de la direction de propagation.

Ces deux postulats étaient bien sûr incompatibles avec la transformation galiléenne qui postule qu'il existe un temps absolu et que la mesure d'une longueur est indépendante du mouvement du système de référence. Einstein va montrer les erreurs de ces postulats. En particulier, il montre la relativité de la notion de simultanéité qui n'a de signification que dans un système galiléen déterminé, ce qui entraîne la relativité de la notion de longueur. Longueur et temps sont liés. La transformation galiléenne doit, comme prévu, être remplacée par la transformation de Lorentz :

pour deux systèmes de référence inertiels R et R' ayant leurs axes parallèles et en déplacement relatif avec la vitesse v selon l'axe x.
La loi de composition des vitesses n'est plus celle du système galiléen.
Cette transformation va entraîner la contraction des longueurs et la dilatation des durées pour les corps en mouvement. On remarquera que pour des vitesses relatives petites devant c (i.e. v/c petit), la transformation de Lorentz se réduit à la transformation de Galilée.
Explicitons ces notions de contraction des longueurs et dilatation des durées: un objet de longueur l au repos dans R sera vu dans R' avec la longueur L' = L racine(1-v²/c²) < L (d'où contraction de longueur). Considérons maintenant deux événements A et B se produisant au même point de R séparés par un laps de temps T. Le laps de temps T' entre ces deux événements mesurés dans R' ne sera plus T mais T' = T/racine(1-v²/c²) > T (d'où dilatation des durées).

 

La dynamique relativiste

Les lois de la dynamique newtonnienne sont aussi à modifier : elles doivent être invariantes dans une transformation de Lorentz.
la loi fondamentale devient F = d/dt (m v) où m et v varient en fonction du temps.
La quantité de mouvement p = mv devient :

Dans la mécanique newtonnienne, la notion de masse a deux sens : sa détection par son poids (masse gravifique) et sa détection par sa résistance au mouvement (masse inerte). Ces masses sont proportionnelles et on choisit les unités de façon à ce qu'elles soient identiques. En identifiant l'expression ci-dessus avec p = m(v) .  v on en déduit que  :

où m₀ est la masse au repos.
La relativité d'Einstein introduit donc la notion de masse au repos et induit une augmentation de la masse avec la vitesse.
Quant à l'énergie totale d'un corps en mouvement, elle devient :

soit en développant :

La théorie d'Einstein introduit un terme nouveau :

qui correspond à l' "énergie interne" en plus de l'énergie cinétique et il y a ainsi équivalence entre masse et énergie.
Tous ces faits nouveaux ont été vérifiés par la physique des particules qui permet d'obtenir de très grandes vitesses. Aux basses vitesses, on retrouve les lois de la dynamique newtonnienne.

 

La relativité générale

La relativité restreinte n'a cependant pas résolu tous les problèmes. Elle s'est montrée incapable d'incorporer la gravitation de manière satisfaisante et certaines expériences semblent toujours prouver qu'il existe un référentiel absolu. Par exemple, l'expérience du pendule de Foucault semble indiquer que l'on peut mesurer le mouvement de la Terre par rapport à un référentiel absolu. Où donc se trouve la contradiction ? Einstein va étendre pour cela la relativité restreinte à la gravitation. Pour cela Einstein va énoncer le principe d'équivalence. L'identité entre la masse gravifique et la masse inertielle devient un postulat de base de la théorie. Ainsi, il n'est pas possible, localement, de distinguer une force créée par une accélération d'une force créée par la gravitation. Cette identité a conduit Einstein à penser qu'un laboratoire en chute libre dans un champ gravitationnel constitute en quelque sorte l'extension naturelle du concept de système de référence inertiel de l'ancienne mécanique. On est ainsi amené à postuler que "tous les systèmes de référence en chute libre sont équivalents pour l'expression des lois physiques non gravitationnelles, quel que soit leur état de mouvement et leur localisation". Cet énoncé constitute ce qu'on appelle aujourd'hui le principe d'équivalence d'Einstein.

Il faut souligner à ce propos que ce principe n'édicte rien sur la description des phénomènes gravitationnels eux-mêmes. Ainsi, il ne postule pas que deux laboratoires en chute libre situés en des endroits différents vont trouver la même valeur pour la constante de la gravitation G (étant admis qu'ils sont munis d'horloges et de mètres de même fabrication). Autrement dit, le principe d'équivalence d'Einstein ne rejette pas a priori que la "vraie théorie relativiste de la gravitation" puisse prédire que G varie avec le temps et le lieu. Ce principe permet donc des généralisations de la relativité générale, généralisations dont les vérifications font l'objet de nombreuses recherches actuelles.

L'idée qu'en présence d'un champ gravitationnel, ce sont les référentiels en chute libre qui doivent remplacer les référentiels inertiels en amène très naturellement une autre: les référentiels en chute libre ne peuvent être que locaux, car un vrai champ de gravitation (celui de la Terre par exemple) n'est pas uniforme. En effet, la non uniformité entraîne qu'aucun mouvement global du système de référence ne peut supprimer partout le champ de la Terre. D'où l'idée que le principe d'équivalence d'Einstein, qui est purement local, n'interdit pas à la géométrie de l'espace-temps de changer d'un point à un autre. Au contraire, un tel changement de géométrie permet de résoudre le problème de la gravitation avec une extrême élégance conceptuelle. Le principe d'inertie galiléen nous dit qu'en l'absence de tout champ de force, un point matériel a un mouvement rectiligne uniforme dans tout référentiel galiléen. Or, une droite est une géodésique de l'espace euclidien. Il est dès lors naturel de considérer le mouvement d'une particule en chute libre dans un champ gravitationnel comme défini par une géodésique d'une métrique plus complexe qu'une métrique euclidienne. En fait, Einstein a introduit une généralisation dite "pseudo-riemanienne" de la métrique spatio-temporelle de la relativité restreinte.

Nous donnons ci-dessous une analogie qui permet de comprendre pourquoi une métrique non euclidienne peut rendre compte de façon simple d'une force de gravitation.

 

Les preuves expérimentales de la relativité générale

La liste des tests expérimentaux auxquels on a soumis la relativité générale est très longue et nous citons ci-dessous les plus marquants :

 
• l'excès d'avance du périhélie de Mercure déterminé à partir des observations coïncide avec l'effet prédit par la relativité générale ;
• la courbure des rayons lumineux passant près d'une masse est détectée en observant les étoiles proches du Soleil pendant une éclipse; elle est en bon accord avec la théorie ;
• les mirages gravitationnels (effet de lentille d'une masse importante se trouvant sur le trajet de rayons lumineux) ont été observés (cf. ci-dessous) ;
• le mouvement de la Lune observé avec une grande précision grâce aux tirs laser est en excellent accord avec la théorie de la relativité générale ;
• le ralentissement de période orbitale décelé dans le pulsar binaire PSR 1913+16 s'explique très bien par l'émission de radiation gravitationnelle prévue par la relativité générale
• l'expansion de l'univers découverte par Hubble grâce au décalage vers le rouge des galaxies lointaines est explicable en cosmologie newtonienne mais les observations sont bien mieux expliquées en relativité générale sur de très grandes distances.

Forte de ces succès, la relativité générale est aujourd'hui indispensable en mécanique céleste, en astrométrie, en astrophysique et en cosmologie. Elle affecte même notre vie de tous les jours puisque les effets relativistes doivent être pris en compte dans le système de repérage par satellite GPS.

 

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Crédit : J.E. Arlot/IMCCE